Question

13．设a∈R，函数f（x）=e^x+ae^-x，其导函数f'（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为$\frac{3}{2}$，则切点的坐标为$（ln2，\frac{5}{2}）$．

Answer 1

分析 利用导函数的解析式结合奇函数的性质首先求得实数a的值，然后求得切点横坐标满足的条件即可求得切点坐标．

解答 解：对f（x）=e^x+ae^-x求导得：f′（x）=e^x-ae^-x，
又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1-a=0，解得a=1，
故有f′（x）=e^x-e^-x，设切点为（x₀，y₀），
则$f′（{x}_{0}）={e}^{{x}_{0}}-{e}^{-{x}_{0}}=\frac{3}{2}$，
得${e}^{{x}_{0}}=2$ 或${e}^{{x}_{0}}=-\frac{1}{2}$ （舍去），
得x₀=ln2．
∴切点的坐标为 $（ln2，\frac{5}{2}）$．
故答案为：$（ln2，\frac{5}{2}）$．

点评 本题考查奇函数的性质，导函数研究函数的切线方程等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．