Question

1．在直角坐标系xoy中，设复数z满足|z-1|=1．
（Ⅰ）求复数z所对应的点（x，y）的轨迹方程C；
（Ⅱ）以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，把（Ⅰ）中的曲线C化为极坐标方程，并判断其与曲线$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ-3=0$的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据复数的几何意义，把复数的模转化为圆的方程，进一步把圆的标准式转化为一般式，
（Ⅱ）根据题意把圆的一般式转化为极坐标方程．再把直线的极坐标式转化为普通式，再利用点到直线的距离公式判断直线和圆的关系．

解答 解：（Ⅰ）依题意复数z满足|z-1|=1．设复数z所对应的点为（x，y），
则点的轨迹方程C为：（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）首先把（x-1）²+y²=1转化为：x²+y²-2x=0，
再转化为极坐标方程为：ρ²-2ρcosθ=0，
∴ρ=2cosθ．
把$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ-3=0化为直角坐标方程为x+\sqrt{3}y-3=0$．
$d=\frac{{|{1-3}|}}{{\sqrt{{1^2}+（\sqrt{3}}{）^2}}}=1$．
由于d=r
∴直线与圆相切．

点评 本题考查的知识要点：复数几何意义得应用，圆的普通式和标准式的转化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系得应用，属于基础题型．