Question

3．当n是正整数时，比较并证明n²与2ⁿ的大小．

Answer 1

分析 当n=1时，n²＜2ⁿ； 当n=2时，n²=2ⁿ； 当n=3时，n²＞2ⁿ；当n=4时，n²=2ⁿ； 当n=5时，n²＜2ⁿ； 当n=6时，n²＜2ⁿ，…，猜想：当n≥5时，n²＜2ⁿ，下面用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：当n=1时，n²＜2ⁿ； 当n=2时，n²=2ⁿ； 当n=3时，n²＞2ⁿ；
当n=4时，n²=2ⁿ； 当n=5时，n²＜2ⁿ； 当n=6时，n²＜2ⁿ，…，
猜想：当n≥5时，n²＜2ⁿ．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立．
（2）假设n=k（k≥5）时猜想成立，即2^k＞k²．
则2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2，
当k≥5时（k-1）²-2＞0，∴2k²＞（k+1）²，从而2^k+1＞（k+1）²，
∴当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1）（2），对n∈N^*猜想都成立．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明不等式、猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．