Question

14．设F₁，F₂分别为椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$（a₁＞b₁＞0）与双曲线${C_2}：\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$（a₂＞b₂＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，$∠{F_1}M{F_2}={90^0}$，若椭圆的离心率${e_1}∈[\frac{3}{4}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$，则双曲线C₂的离心率e₂的取值范围为$[\frac{{2\sqrt{14}}}{7}，\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理可得e₁与e₂的关系式，再由e₁ 的范围求得e₂的取值范围．

解答 解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF₁|+|MF₂|=2a₁，|MF₁|-|MF₂|=2a₂，
∴|MF₁|=a₁+a₂，|MF₂|=a₁-a₂．
∵∠F₁MF₂=90°，
∴$|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，
即$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}+（{a}_{1}-{a}_{2}）^{2}=4{c}^{2}$，得${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}=2{c}^{2}$，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，则${e}_{2}=\frac{{e}_{1}}{\sqrt{2{{e}_{1}}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2-\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}}}$．
∵${e_1}∈[\frac{3}{4}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$，
∴e₂∈$[\frac{{2\sqrt{14}}}{7}，\sqrt{2}）$．
故答案为：$[\frac{{2\sqrt{14}}}{7}，\sqrt{2}）$．

点评 本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题．