Question

3．平面直角坐标系中，A，B分别为x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$π
• B． π
• C． 2π
• D． 3π

Answer 1

分析 由题意，AB为直径，∠AOB=90，可知O点必在圆C上，由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小．

解答 解：由题意，圆C面积的最小值，其半径最小，
∵AB为直径，∠AOB=90°，
∴O点必在圆C上，
由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为原点O（0，0）到直线x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距离．
即2r=$\frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$，
∴r=$\sqrt{3}$．
∴圆C面积的最小值为3π．
故选D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据AB为直径，∠AOB=90°，推断O点必在圆C上，由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小，利用点到直线的距离求得O到直线的距离，则圆的半径可求．属于中档题．