Question

19．已知函数f（x）=xlnx-ax²-x．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a≥$\frac{lnx}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{lnx}{2x}$，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²-x，
故g（x）=f′（x）=lnx-x，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）f′（x）=lnx-2ax，
若f（x）在（0，+∞）上单调递减，
则f′（x）=lnx-2ax≤0在（0，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{lnx}{2x}$，（x＞0），
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令h′（x）＜0，解得：x＞e，
故h（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{2e}$，
故a≥$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．