Question

7．春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表（单位：微克/立方米）．

	除夕18时PM2.5浓度	初一2时PM2.5浓度
北京	75	647
天津	66	400
石家庄	89	375
廊坊	102	399
太原	46	115
上海	16	17
南京	35	44
杭州	131	39

（Ⅰ）求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值；
（Ⅱ）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹．从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X，求随机变量y的分布列和数学期望；
（Ⅲ） 记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中PM_2.5浓度的方差分别为s₁²和s₂²，比较s₁²和s₂²的大小关系（只需写出结果）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值．
（II）以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，即可得出分布列，进而得到X的数学期望EX．（III）${s}_{1}^{2}$＜${s}_{2}^{2}$．

解答 解：（Ⅰ）8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值
$\overline{x}$=$\frac{75+66+89+102+46+16+35+131}{8}$=70．
（Ⅱ）以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{8}^{3}}$，可得：P（X=0）=$\frac{1}{14}$，P（X=1）=$\frac{6}{14}$，P（X=k）=$\frac{6}{14}$，
P（X=3）=$\frac{1}{14}$．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{6}{14}$	$\frac{6}{14}$	$\frac{1}{14}$

X的数学期望EX=0×$\frac{1}{14}$+1×$\frac{6}{14}$+2×$\frac{6}{14}$+3×$\frac{1}{14}$=$\frac{3}{2}$．
（III）${s}_{1}^{2}$＜${s}_{2}^{2}$．

点评 本题考查了平均数的计算公式、超几何分布列的概率计算公式与数学期望、方差计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．