Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0
（1）求f（x）在[0，+∞）上是减函数的充要条件；
（2）求f（x）在[0，+∞）上的最大值；
（3）解不等式ln（1+

x- 1 x

）-

x- 1 x

≤ln2-1．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，再求充分性由x≥0，a＞0，b＞0⇒当f'（x）≤0时，a-b≤0；然后求必要性：当a≤b时，由a＞0，b＞0，x≥0，⇒ax+b＞0，a-b-ax≤0，即可求出充要条件；
（2）由（1）能够得出当a≤b时，（x）的最大值为f（0）=lnb；当b＜a时，f（x）在[0，

a-b

a

]是增函数，f（x）在[

a-b

a

，+∞）是减函数，进而求得当x=

a-b

a

时取得最大值为lna-

a-b

a

，最后在总结即可；
（3）解不等式ln（1+

x- 1 x

）-

x- 1 x

≤ln2-1能够转化成f（

x- 1 x

）≤f（1），再根据函数的单调性即可求出解题．

解答：解：（1）f'（x）=

a

ax+b

-1=

a-b-ax

ax+b

充分性：因为x≥0，a＞0，b＞0所以，当f'（x）≤0时，a-b≤0，即a≤b
必要性：当a≤b时，因为a＞0，b＞0，x≥0，所以ax+b＞0，a-b-ax≤0，即f'（x）≤0
所以f（x）在[0，+∞）上是减函数的充要条件是“a≤b”
（2）由（1）知当a≤b时f（x）在[0，+∞）上是减函数
∴f（x）的最大值为f（0）=lnb
当b＜a时，因为f'（x）=

a-b-ax

ax+b

∴当0≤x＜

a-b

a

时，f'（x）＞0；当x＞

a-b

a

时，f'（x）＜0
即f（x）在[0，

a-b

a

]是增函数，f（x）在[

a-b

a

，+∞）是减函数
则当x=

a-b

a

时取得最大值为lna-

a-b

a

综上，[f（x）_max]=

lnb   b≥a lna- a-b a

b＜a
（3）在（1）中取a=b=1，得f（x）=ln（x+1）-x
由（1）知f（x）在[0，+∞）上是减函数
∵ln（1+

x- 1 x

）-

x- 1 x

≤ln2-1即f（

x- 1 x

）≤f（1）
∴

x- 1 x

≥1解得

1- 5

2

≤x＜0或x≥

1+ 5

2

∴不等式的解集为[

1- 5

2

，0）∪[

1+ 5

2

，+∞）

点评：本题考查了函数单调性和导数的关系以及利用导数求出最值，第（2）要注意分情况求最值，属于中档题．