Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若，求边c的值．

Answer 1

解：（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得：
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分）
又B+C=π-A，
所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA．
而sinA≠0，所以；…（6分）
（2）由及0＜A＜π，可得：A=，
∴，
由，得，
即，
可得：，…（8分）
由，知，
于是或，
所以或，…（10分）
若，则，
在直角△ABC中，，
解得：；
若，在直角△ABC中，，
解得：．…（12分）
分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，并根据sinA的值不为0，即可求出cosA的值；
（2）由第一问求出的cosA的值及A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得出B+C的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B+）的值，由A的度数求出B+的范围，利用特殊角的三角函数值得出B的度数，根据锐角三角函数定义即可求出c的值．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，诱导公式，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．