Question

【题目】函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A.（ ， ）
B.（ ， ）
C.（ ，2）
D.（1，2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，

即函数y=f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，

∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，

当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=﹣2x，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=﹣2x=f（x），

即f（x）=﹣2x，﹣1≤x≤0，

作出函数f（x）和g（x）的图象，

当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=2，解得a=

当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a= ，

要使在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，

则 ，

故选：A