Question

已知函数f（x）=x³-，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³-，
∴f′（x）=3x²-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，则x=，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c²，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（）=，
f（x）的极小值为f（1）=c- …（8分）
∵当f（）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴＜0，或c-＞0，
即c＜，或c＞时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
分析：（1）由已知中函数f（x）=x³-，且f（x）在x=1处取得极值，我们求出f′（x）的解析式，根据f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数f（x）的单调性，进而求出f（x）在区间[1，2]的最大值，根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c²恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，则y=f（x）的极大值小于0，或y=f（x）的极小值大于0，进而构造关于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．