Question

已知2x2+x≤(

1

4

)x-2，则函数y=2^x-2^-x的值域是

[-

255

16

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：将指数不等式2x2+x≤(

1

4

)x-2化为同底，进而结合指数函数的单调性，解出不等式，得到x的取值范围，进而利用函数单调性的性质增-减=增判断出函数y=2^x-2^-x的单调性，进而求出函数的最大值和最小值，求出函数y=2^x-2^-x的值域

解答：解：∵2x2+x≤(

1

4

)x-2，
∴2x2+x≤24-2x
∴x²+x≤4-2x
即x²+3x-4≤0
解得-4≤x≤1
又∵函数y=2^x-2^-x为增函数
∴当x=-4时，y取最小值-

255

16

当x=1时，y取最大值

3

2

故函数y=2^x-2^-x的值域是[-

255

16

，

3

2

]
故答案为：[-

255

16

，

3

2

]

点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性的应用，及函数的单调性和值域，其中解指数不等式，求出x的取值范围，是解答本题的关键．