Question

已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，且f(0)=

3

2

，f(

π

4

)=

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？

Answer 1

分析：（1）先由f（0）=

3

2

求得a，由f(

π

4

)=

1

2

求得b，进而求得函数f（x）的解析式，利用二倍角公式和两角和公式化简整理，进而根据T=

2π

w

求得函数的最小正周期．
（2）根据正弦函数的单调性可求得当函数单调减时2x+

π

3

的范围，进而求得x的范围，即函数的单调性减区间．
（3）根据函数的解析式可知奇函数的图象左移

π

6

即得到f（x）的图象，进而可推断出函数f（x）的图象右移

π

6

后对应的函数成为奇函数．

解答：解：（1）由f(0)=

3

2

，得2a-

3

2

=

3

2

，∴2a=

3

，则a=

3

2

，
由f(

π

4

)=

1

2

，得

3

2

+

b

2

-

3

2

=

1

2

，∴b=1，
∴f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)．
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3

2

π+2kπ，得

π

12

+kπ≤x≤

7

12

π+kπ，
∴f（x）的单调递减区间是[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]（k∈Z）．
（3）∵f(x)=sin2(x+

π

6

)，
∴奇函数的图象左移

π

6

即得到f（x）的图象，
故函数f（x）的图象右移

π

6

后对应的函数成为奇函数．

点评：本题主要考查了三角函数的周期及其求法，三角函数的单调性，函数图象的平移，考查了对基础知识的综合把握．