Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=

2

．
（1）求直线D₁B与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：AC⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由D₁D⊥平面ABCD，BD是D₁B在底面ABCD上的射影，则∠D₁BD是直线D₁B与平面ABCD所成的角，在直角三角形D₁BD中，由已知数据，即可求出∠D₁BD；
（2）要证AC⊥平面BB₁D₁D，只需证得AC⊥BD，AC⊥D₁D，由正方形的对角线的性质和D₁D⊥底面ABCD，即可得证．

解答： （1）解：∵D₁D⊥平面ABCD，BD是D₁B在底面ABCD上的射影，
∴∠D₁BD是直线D₁B与平面ABCD所成的角，
在直角三角形D₁BD中，BD=

2

，D₁D=

2

，
则tan∠D₁BD=

D1D

BD

=1，
∴∠D₁BD=45°，
即直线D₁B与平面ABCD所成角的大小为45°；
（2）证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又BD∩D₁D=D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．

点评：本题考查空间直线与平面所成的角，考查直线与平面垂直的判定和性质，同时考查运算能力，属于中档题．