Question

已知函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）若sinα+f（α）=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．可得周期，从而得到ω=1，再由函数f（x）为偶函数，
得到Φ=

π

2

，从而得到函数式；
（2）由sinα+f（α）=

2

3

，平方得到2sinαcosα=-

5

9

，再将所求的式子运用切化弦和两角差的正弦公式，以及二倍角公式，化简即可得到所求的值．

解答： 解：（1）由图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
即有T=2π，ω=

2π

T

=1，
由函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）为偶函数，
则Φ=kπ+

π

2

，k为整数，由0≤Φ≤π，则Φ=

π

2

，
则f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx；
（2）由sinα+f（α）=

2

3

，得到sinα+cosα=

2

3

，
则平方有2sinαcosα=-

5

9

，
则

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

2 ( 2 2 sin2α- 2 2 cos2α)+1

sinα+cosα cosα

=

cosα(sin2α-cos2α+1)

cosα+sinα

=

cosα

cosα+sinα

•（2sin²α+2sinαcosα）
=2sinαcosα=-

5

9

．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查三角恒等变换公式的运用，考查函数的奇偶性和周期性及运用，考查化简计算能力，属于中档题．