Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1，（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求出所有使数列{a_n+1+λa_n}成等比数列的λ的值；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）把已知的数列递推式变形，得到a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2），由此证得数列{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{a_n+1+λa_n}成等比数列，求出前3项，利用等差数列的性质，直接求出λ的值；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，得到方程组，然后求数列{a_n}的通项公式．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n+1=a_n+6a_n-1，得
a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2），
∵a₁=5，a₂=5，∴a₂+2a₁=15，
故数列{a_n+1+2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）∵数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
{a_n+1+λa_n}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ，
依题意得（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n=2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
当λ=-3时，{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得a_n+1+2a_n=5•3ⁿ，由待定系数法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ），
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1，
故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ．

点评：本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第三小题借用（Ⅰ）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴．