Question

已知函数f（x）=sin2x-

3

cos2x+1，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=g（x）的图象，求直线y=2+

2

与函数y=f（x）+g（x）的图象在（-π，π）内所有交点的坐标．

Answer 1

考点：三角函数的最值,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据函数f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，x∈[

π

4

，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．
（2）由条件可得

m-3

2

＜sin（2x-

π

3

）＜

m+1

2

 在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，结合f（x）的值域可得 

m-3

2

＜

1

2

，且

m+1

2

＞1，由此求得实数m的取值范围．
（3）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得y=g（x）=-2cos（2x-

π

3

）+1，再根据x∈（-π，π），可得 2x-

π

12

∈（-2π-

π

12

，2π-

π

12

）．由y=2+

2

=f（x）+g（x），求得cos（2x-

π

12

）=-1，求得x的值，可得直线y=2+

2

与函数y=f（x）+g（x）的图象在（-π，π）内所有交点的坐标．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]．∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，
∴当2x-

π

3

=

π

6

时，函数取得最小值为2，当2x-

π

3

=

π

2

时，函数取得最大值为3．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，即

m-3

2

＜sin（2x-

π

3

）＜

m+1

2

 在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m-3

2

＜

1

2

，且

m+1

2

＞1，由此求得m＞1，或 m＜4，由此求得实数m的取值范围为{m|m＞1，或 m＜4}．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=g（x）=2sin[2（x-

π

4

）-

π

3

]+1=2sin（2x-

π

2

-

π

3

）+1=-2cos（2x-

π

3

）+1 的图象，
故y=f（x）+g（x）=2sin（2x-

π

3

）+1+-2cos（2x-

π

3

）+1=2+2

2

sin（2x-

π

3

-

π

4

）=2+2

2

sin（2x-

7π

12

）=2-2

2

cos（2x-

π

12

）．
再根据x∈（-π，π），可得 2x-

π

12

∈（-2π-

π

12

，2π-

π

12

）．
由y=2+

2

=f（x）+g（x），求得cos（2x-

π

12

）=-1，求得2x-

π

12

=-π 或2x-

π

12

=π，即x=-

11π

24

，或x=

13π

24

．
故直线y=2+

2

与函数y=f（x）+g（x）的图象在（-π，π）内所有交点的坐标分别为（-

11π

24

，2+

2

），（

13π

24

，2+

2

）．

点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了转化的数学思想，属于基础题．