Question

已知椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上的不同两点A（x₁，y₁）、C （x₂，y₂）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若弦AC中点的横坐标为4，设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意和椭圆定义求出a、c的值，再求出b的值，代入椭圆的标准方程；
（2）设弦AC中点P的坐标是（4，y₀），根据点差法、中点坐标公式化简得：9×8×（x₁-x₂）+25×2y₀×（y₁-y₂）=0，由弦AC的垂直平分线的方程得：

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，代入上式化简求出k，把点P的坐标代入弦AC的垂直平分线的方程求出m，再由中点的横坐标为4求出y₀的范围，进而求出m的范围．

解答： 解：（1）由椭圆定义知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5，
又c=4，所以b=

a2-c2

=3，
则椭圆的方程为：

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）设弦AC中点P的坐标是（4，y₀），
所以x₁+x₂=8，y₁+y₂，=2y₀，
因为A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在椭圆上，
所以9x₁²+25y₁²=9×25，①
9x₂²+25y₂²=9×25，②
由①-②得，9（x₁²-x₂²）+25（y₁²-y₂²）=0，
9（x₁-x₂）（x₁+x₂）+25（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
所以9×8×（x₁-x₂）+25×2y₀×（y₁-y₂）=0，③
因为弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，中点P的坐标是（4，y₀），
所以k≠0，即x₁≠x₂，则

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，
则③化为：36+25×y₀×（-

1

k

）=0，解得k=

25y0

36

，
由点P（4，y₀）在弦AC的垂直平分线上得，y₀=4k+m，
所以m=y₀-4k=y₀-

25y0

9

=-

16y0

9

，
由点B（4，y_B）在椭圆上，解得y_B=±

9

5

，
所以-

9

5

＜y₀＜

9

5

，则-

16

5

＜-

16y0

9

＜

16

5

，
所以m的取值范围是：-

16

5

＜m＜

16

5

．

点评：本题考查椭圆定义、标准方程，点差法解决弦的中点问题，以及椭圆内部的点的坐标范围问题，考查化简计算能力．