Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时有f（x）=

4x

x+4

（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）求函数f（x）的解析式（写成分段函数的形式）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）运用偶函数的定义，求出x＜0的表达式，即可得到f（x）的解析式．

解答： 解：（1）函数f(x)=

4x

x+4

在[0，+∞）上单调递增．
证明：设x₁＞x₂≥0，则f(x1)-f(x2)=

4x1

x1+4

-

4x2

x2+4

，
=

16(x1-x2)

x1x2+4(x1+x2)+16

，
又x₁＞x₂≥0，所以x₁-x₂＞0，x₁x₂≥0，x₁+x₂＞0，
所以

16(x1-x2)

x1x2+4(x1+x2)+16

＞0．
则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f(x)=

4x

x+4

在[0，+∞）上单调递增；
（2）由于当x≥0时有f(x)=

4x

x+4

，
而当x＜0时，-x＞0，
则f(-x)=

-4x

-x+4

=

4x

x-4

=f(x)，
即f(x)=

4x

x-4

（x＜0）．
则f(x)=

4x x+4 (x≥0) 4x x-4 (x＜0)

．

点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．