Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+a²lnx，x∈（$\frac{a}{3}$，a）（a＞0）．
（1）当a=2时，求点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在定义域上有最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程；
（2）求出导数，令导数为0，解方程求得极值点，由题意可得在定义域内只有极大值点，得到不等式组，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+4lnx，
f′（x）=x-2+$\frac{4}{x}$，
即有f（x）在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=1-2+4=3，
f（1）=$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$，
则点P（1，f（1））处的切线方程为y+$\frac{3}{2}$=3（x-1），
即为6x-2y-9=0；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+a²lnx的导数为f′（x）=x-2+$\frac{{a}^{2}}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1±$\sqrt{1-{a}^{2}}$，（0＜a＜1），
由于函数y=f（x）在（$\frac{a}{3}$，a）上有最大值，
当$\frac{a}{3}$＜x＜1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$时，f′（x）＞0，f（x）递增，
1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在（$\frac{a}{3}$，a）上，x=1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$处f（x）取得极大值，也为最大值．
由1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$＜a，解得0＜a＜1，
由$\frac{a}{3}$＜1-$\sqrt{1-{a}^{2}}$，解得a＞$\frac{3}{5}$．
即$\frac{3}{5}$＜a＜1，
即有a的取值范围是（$\frac{3}{5}$，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和最值的求法，属于中档题．