Question

2．已知常数a＞0，函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-4（1-a）x，g（x）=ln（ax+1）-$\frac{2x}{x+2}$．
（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上存在两个极值点x₁、x₂，且g（x₁）+g（x₂）＞0，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用f′（x）=ax²+4（a-1），求解不等式，得出当a≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在区间（0，2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$）上单调递减，在区间（2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，∞）上单调递增．
（2）根据前面的做的可以得出当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点，可以排除，因而要使得f（x）有两个极值点，必有0＜a＜1．f（x）的极值点只可能是x₁=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$和x₂=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，易知，x₁，x₂分别是f（x）的极小值点和极大值点．
把g（x₁）+g（x₂）具体表示出来，令2a-1=x．由0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$知，转化为h（x）=lnx²+$\frac{2}{x}$-2．再利用导数，分类判断求解．

解答 解：（1）f′（x）=ax²+4（a-1），
当a≥1时，f′（x）＞0，
此时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当0＜a＜1时，由f′（x）=0（*）得
x₁=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$＞0，x₂=-2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$
当x∈（0，x₁）时，f′（x）＜0；
当x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＞0．
故f（x）在区间（0，x₁）上单调递减，
在区间（x₁，+∞）上单调递增．
综上所述：
当a≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在区间（0，2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$）上单调递减，
在区间（2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，∞）上单调递增．
（2）由（*）式知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点，
因而要使得f（x）有两个极值点，必有0＜a＜1．
又f（x）的极值点只可能是x₁=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$和x₂=-2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
且由f（x）的定义可知，x＞-$\frac{1}{a}$且x≠-2，
所以2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$＞-$\frac{1}{a}$，-2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$≠-2，a∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）
此时，由（*）式易知，x₁，x₂分别是f（x）的极小值点和极大值点．
而g（x₁）+g（x₂）=ln（1+ax₁）-$\frac{2x1}{x1+2}$+ln（1+ax₂）-$\frac{2x2}{x2+2}$
=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-$\frac{4x1x2+4（x1+x2）}{x1x2+2（x1+x2）+4}$
=ln（2a-1）²-$\frac{4（a-1）}{2a-1}$=ln（2a-1）²+$\frac{2}{2a-1}$-2．
令2a-1=x．由0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$知，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，-1＜x＜0；当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，0＜x＜1．
记h（x）=lnx²+$\frac{2}{x}$-2．
①当-1＜x＜0时，h（x）=2ln（-x）+$\frac{2}{x}$-2，
设题t=-x∈（0，1），h（x）=φ（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-2，
φ′（t）=$\frac{2}{t}$$+\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴φ（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-2，是单调递增函数，
φ（t）＜φ（1）=-4＜0
从而h（x）＜-4＜0．
故当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，g（x₁）+g（x₂）＜0．
不合题意，舍去
②当0＜x＜1时，h（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，
所以h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{x2}$=$\frac{2x-2}{x2}$＜0，
因此，h（x）在区间（0，1）上单调递减，
从而h（x）＞h（1）=0．故当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，g（x₁）+g（x₂）＞0．
综上所述，满足条件的a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题综合考察了函数的性质，导数在求解函数极值，借助分类讨论判断单调性，多次构造函数判断求解，思路要清晰，难度较大，属于难题．