Question

9．如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．
（Ⅰ）求证：直线DC是圆O的切线；
（Ⅱ）求线段EB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．
（Ⅱ）由 BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC，
由BC∥OD⇒OD⊥AC，
则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．
（Ⅱ）解：BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD
⇒$\frac{BC}{OA}=\frac{AB}{OD}$⇒BC=$\frac{OA•AB}{OD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$⇒$\frac{BC}{OD}$=$\frac{2}{5}$⇒$\frac{BE}{OE}$=$\frac{2}{5}$⇒$\frac{BE}{OB}$=$\frac{2}{3}$⇒BE=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．