Question

14．△ABC中，cotAcotB＞1，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 由已知结合角A、B的范围，由两角和的余弦公式化简可得cos（A+B）＞0，结合三角形内角和定理从而可得角C为钝角．

解答 解：△ABC是钝角三角形．
cotAcotB＞1可以化为$\frac{cosAcosB}{sinAsinB}$＞1，
因为A、B都在0到180度范围内，
所以sinA、sinB都大于0，
所以上式可继续化简得：cosAcosB＞sinAsinB，cosAcosB-sinAsinB＞0，cos（A+B）＞0
因为A+B肯定小于180度，而cos（A+B）＞0，
所以可以进一步推出A+B在0到90度的范围内，由此可以推出角C就肯定大于90度，
所以△ABC是钝角三角形．

点评 本题主要考查了两角和的余弦公式，三角形内角和定理的应用，根据角的余弦值判断角的范围是解题的关键，属于基本知识的考查．