Question

19．对于函数f（x）=tanx在定义域（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）中的任意x₁，x₂有以下结论：
①f（x+π）=f（x）
②f（-x）=f（x）
③f（0）=1
④f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
⑤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0
以上结论正确的有①⑤．

Answer 1

分析 由正切函数的图象和性质，逐个选项验证可得．

解答 解：∵正切函数的周期为π，∴①f（x+π）=f（x）正确；
∵正切函数的周期为奇函数，∴②f（-x）=f（x）错误；
计算可得f（0）=tan0=0≠1，故③错误；
由正切函数的图象和性质可得当x₁，x₂∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；
但当当x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$）时，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故④错误；
⑤由正切函数在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）单调递增可知对（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）中的任意x₁，x₂有$\frac{f（{x}_{1}）-f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-（-{x}_{2}）}$＞0成立，
再由正切函数为奇函数可得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，故⑤正确．
故答案为：①⑤

点评 本题考查正切函数的图象和性质，属中档题．