Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且S_n=λna_n+1（λ为常数且λ≠1）．
（1）求λ的值；
（2）若b_n=${（\frac{1}{2}）}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且S_n=λna_n+1（λ为常数且λ≠1）．可得a₁=λa₂，a₁+a₂=2λa₃，λ≠0．再利用2a₂=a₁+a₃，即可得出．
（2）由（1）可得a₂=4，公差d=a₂-a₁=2，可得a_n=2n．b_n=${（\frac{1}{2}）}^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且S_n=λna_n+1（λ为常数且λ≠1）．
∴a₁=λa₂，a₁+a₂=2λa₃，λ≠0．
解得${a}_{2}=\frac{2}{λ}$，a₃=$\frac{2+\frac{2}{λ}}{2λ}$=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}}$，
∴2a₂=a₁+a₃，
化为$2×\frac{2}{λ}$=2+$\frac{λ+1}{{λ}^{2}}$，即2λ²-3λ+1=0．
解得λ=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得a₂=4，公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
∴b_n=${（\frac{1}{2}）}^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．