Question

16．解不等式：（a+1）x²+ax-1＞0．

Answer 1

分析 讨论a+1=0时，不等式的解集是什么，a+1≠0时，不等式可化为[（a+1）x-1]（x+1）＞0，
再讨论$\frac{1}{a+1}$与-1的大小，以及a+1的正负，从而求出不等式的解集．

解答 解：当a+1=0即a=-1时，不等式化为-x-1＞0，解得x＜-1；
当a+1≠0即a≠-1时，不等式化为[（a+1）x-1]（x+1）＞0，
且不等式对应的方程两个实数根为x=$\frac{1}{a+1}$和x=-1；
若a=-2，则$\frac{1}{a+1}$=-1，不等式化为（x+1）²＜0，此时无解；
若a＜-2，则0＞$\frac{1}{a+1}$＞-1，不等式化为（x-$\frac{1}{a+1}$）（x+1）＜0，解得-1＜x＜$\frac{1}{a+1}$；
若-1＞a＞-2，则$\frac{1}{a+1}$＜-1，不等式化为（x-$\frac{1}{a+1}$）（x+1）＜0，解得$\frac{1}{a+1}$＜x＜-1；
若a＞-1，则$\frac{1}{a+1}$＞0＞-1，不等式化为（x-$\frac{1}{a+1}$）（x+1）＞0，解得x＜-1或x＞$\frac{1}{a+1}$；
所以，a=-1时，不等式的解集为{x|x＜-1}；
a=-2时，不等式的解集为∅，
a＜-2时，不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{a+1}$}，
-2＜a＜-1时，不等式的解集为{x|$\frac{1}{a+1}$＜x＜-1}，
a＞-1时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a+1}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础性题目．