Question

5．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$，求∠A的大小．

Answer 1

分析 由正弦定理，余弦定理结合已知可得cosC=$\frac{c+2b}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得b²+c²-a²=-bc，由余弦定理可解得cosA=-$\frac{1}{2}$，结合角A的范围，即可得解．

解答 解：∵由正弦定理，余弦定理结合已知可得：cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$=$\frac{c+2b}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴整理可得：b²+c²-a²=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π
∴解得：A=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，灵活运用公式进行三角形边角互化是解题的关键，属于基本知识的考查．