Question

5．若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）=cosx+asinx的最小值为0，则实数a的值为0．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+φ），x+φ∈[φ-$\frac{π}{2}$，φ+$\frac{π}{2}$]．由f（x）的最小值为0求得φ=$\frac{π}{2}$，从而求得a的值．

解答 解：函数f（x）=cosx+asinx=$\sqrt{{1+a}^{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$cosx+$\frac{a}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$sinx）=$\sqrt{{1+a}^{2}}$sin（x+φ），
其中，sinφ=$\frac{1}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$，cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$．
由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得x+φ∈[φ-$\frac{π}{2}$，φ+$\frac{π}{2}$]．
要使f（x）的最小值为0，只要φ-$\frac{π}{2}$=0、φ+$\frac{π}{2}$≤π；或φ-$\frac{π}{2}$≥0、φ+$\frac{π}{2}$=π；
求得φ=$\frac{π}{2}$，故有sinφ=$\frac{1}{\sqrt{{1+a}^{2}}}$=1，∴a=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．