Question

17．已知圆C：x²+y²-2x+6y=0（a∈R）的圆心在直线2x-y+a=0上．
（1）求实数a的值．
（2）求圆C与直线l：（2m+1）x+（m+1）y-m=0（m∈R）相交弦长最小值．

Answer 1

分析 （1）圆化为标准方程，求得圆心，代入直线2x-y+a=0，求出实数a的值．
（2）求出直线过定点（1，-1），可得圆心与定点的距离为2，即可求出弦长最小值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x+6y=0可化为（x-1）²+（y+3）²=10，圆心为（1，-3），半径为$\sqrt{10}$，
∵圆C：x²+y²-2x+6y=0的圆心在直线2x-y+a=0上，
∴2+3+a=0，
∴a=-5；
（2）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-m=0（m∈R）可化为（2x+y-1）m+（x+y）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-1=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，∴x=1，y=-1，即直线过定点（1，-1），
圆心与定点的距离为2，∴弦长最小值为2$\sqrt{10-4}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，求得直线过定点是关键．