Question

已知函数f（x）=

ex

x+1

（x＞-1）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据点的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

x+1

，
∴f′（x）=

xex

(x+1)2

，
∴f′（1）=

e

4

，
∵f（1）=

e

2

，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex-4y+e=0；
（2）令f′（x）=0，可得x=0，
x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=0时，f（x）的最小值为1．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．