Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）若tanA-tanB=

3

3

(1+tanA•tanB)，求角B；
（Ⅱ）设

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，试求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把c²=a²+b²-ab．代入余弦定理中可求得cosC的值，进而求得C，把tanA-tanB=

3

3

(1+tanA•tanB)代入到A，B正切的两角和与差的公式中求得tan（A-B）的值，进而求得A-B的值，最后联立方程求得B．
（Ⅱ）根据题意可表是出

m

•

n

进而根据正弦函数性质可A的范围确定

m

•

n

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）c2=a2+b2-ab?cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

(0＜C＜π)?C=

π

3

，
由tanA-tanB=

3

3

(1+tanA•tanB)?tan(A-B)=

3

3

∵-

2π

3

＜A-B＜

2π

3

∴A-B=

π

6

又∵A+B=

2π

3

∴B=

π

4

（Ⅱ）

m

•

n

=3sinA+cos2A=3sinA+1-2sin²A=-2（sinA-

3

4

)2+

17

8

+

17

8

∵A∈(0，

2π

3

)?sinA∈(0，1]，
所以得

m

•

n

的取值范围为(1，

17

8

]

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，两角和与差的正切以及向量的基本计算．