Question

【题目】某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布.

（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56的概率；

（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图：

该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；

模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对投资金额做交换，令，则，且有，，，.

（I）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；

（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	102.28	36.19

附：若随机变量，则，；样本的最小乘估计公式为，；

相关指数.

参考数据：，，，.

Answer 1

【答案】（1）0.3695；（2）（I）,（II）模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，当时，模型②的年利润增量的预测值为（万元），

【解析】

（1）由已知满足正态分布，则可知，的值，由正态分布的对称性可知，可求得买一个苹果，其果径小于56的概率，由独立重复试验概率的运算方式，求得购买20个“糖心苹果”中有果径小于56的苹果概率；

（2）（I）由最小二乘法求得模型②中关于的回归方程；

（II）分别计算两种模型的相关系数的平方，得模型②的相关系数的平方更大其拟合程度越好，再代进行计算，求得预测值.

（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径，

则，.

由正态分布的对称性可知，

设一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56的有个，则，

故，

所以这名顾客所购买20个“糖心苹果”中有果径小于56的苹果概率为0.3695.

（2）（I）由，，可得，，

又由题，得，

则

所以，模型②中关于的回归方程.

（II）由表格中的数据，有，即，

所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，

当时，模型②的年利润增量的预测值为

（万元），

这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠.