Question

【题目】已知非空集合满足.若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质.记具有性质的集合的个数为.

（1）求的值；

（2）求的表达式.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）因为，所以，对应的分别为，故．（2）通过研究相邻两项之间关系，得递推关系，进而可求通项：设当时，具有性质的集合的个数为，当时，，关键计算关于的表达式，① 当为偶数时，为奇数，；② 当为奇数时，为偶数，，最后根据累加法解得

试题解析：（1）当时，具有性质，

对应的分别为，故．

（2）可知当时，具有性质的集合的个数为，

则当时，，

其中表达也具有性质的集合的个数，

下面计算关于的表达式，

此时应有，即，故对分奇偶讨论，

① 当为偶数时，为奇数，故应该有，

则对每一个，和必然属于集合，且和，…，

和共有组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合，

故对每一个，对应的具有性质的集合的个数为

，

所以，

② 当为奇数时，为偶数，故应该有，

同理，

综上，可得又，

由累加法解得

即