【题目】在梯形中,,为的中点,线段与交于点(如图1).将沿折起到的位置,使得二面角为直二面角(如图2).
(1)求证:平面;
(2)线段上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)线段上存在点,且
【解析】
(1)推导出,从而四边形为平行四边形,推导出,由此能证明平面;
(2)建立空间直角坐标系,设,利用向量法能求出线段上存在点,且时,使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为.
(1)证明:因为在梯形中,,为的中点,
所以,
所以四边形为平行四边形,
因为线段与交于点,
所以为线段的中点,
所以中,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)解:平行四边形中,,
所以四边形是菱形,,垂足为,
所以,
因为平面,平面,
所以是二面角的平面角,
因为二面角为直二面角,
所以,即.
可以如图建立空间直角坐标系,其中,
因为在图1菱形中,,
所以,
所以,
所以,,
设为平面的法向量,
因为,所以,即,
取,得到,
所以;
线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为,
设,
因为,
所以,
因为,
所以,
因为,所以,
所以线段上存在点,且,使得与平面所成角的正弦值为.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),圆的方程为.以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线及圆的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆交于,两点,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数,直线l:y=kx(k>0),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|OA||OB|的值.
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【题目】已知抛物线的焦点为,,是抛物线上的两个动点,且,过,两点分别作抛物线的切线,设其交点为.
(1)若直线与,轴分别交于点,,且的面积为,求的值;
(2)记的面积为,求的最小值,并指出最小时对应的点的坐标.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于两点,设点,已知,求实数的值.
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【题目】已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点,若,,且,则下列说法正确的是( ),
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C、D可能同时在线段AB上
D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上
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【题目】已知两个平面相互垂直,下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是( )
A. B. C. 1D.
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【题目】东方商店欲购进某种食品(保质期一天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价元,售价元,如果一天内无法售出,则食品过期作废,现统计该产品天的销售量如下表:
(1)根据该产品天的销售量统计表,求平均每天销售多少份?
(2)视样本频率为概率,以一天内该产品所获得的利润的平均值为决策依据,东方商店一次性购进或份,哪一种得到的利润更大?
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,且椭圆上存在一点,满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求的内切圆的半径的最大值.
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