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【题目】在梯形中,的中点,线段交于点(如图1.沿折起到的位置,使得二面角为直二面角(如图2.

1)求证:平面

2)线段上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)线段上存在点,且

【解析】

1)推导出,从而四边形为平行四边形,推导出,由此能证明平面

2)建立空间直角坐标系,设,利用向量法能求出线段上存在点,且时,使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为.

1)证明:因为在梯形中,的中点,

所以

所以四边形为平行四边形,

因为线段交于点,

所以为线段的中点,

所以

因为平面平面

所以平面.

2)解:平行四边形中,

所以四边形是菱形,,垂足为

所以

因为平面平面

所以是二面角的平面角,

因为二面角为直二面角,

所以,即.

可以如图建立空间直角坐标系,其中

因为在图1菱形中,

所以

所以

所以

为平面的法向量,

因为,所以,即

,得到

所以

线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为

因为

所以

因为

所以

因为,所以

所以线段上存在点,且,使得与平面所成角的正弦值为.

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