Question

已知函数f（x）=x-

1

2

ax²+ln（x-1），其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负可得f（x）的单调区间；
（2）由题意，令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在[2，+∞）上为减函数即可，即g′（x）≤0在[2，+∞）上恒成立．

解答： 解：（1）函数的定义域为（1，+∞），f′（x）=1-ax+

1

x-1

a≤0时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴函数的单调递增区间为（1，+∞）；
a＞0时，f′（x）＞0可得1＜x＜

a+1

a

；f′（x）＜0，可得x＞

a+1

a

．
∴函数的单调递增区间为（1，

a+1

a

），单调减区间为（

a+1

a

，+∞）；
（2）假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＜f（x₁）-ax₁，
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在[2，+∞）上为减函数即可，即g′（x）≤0在[2，+∞）上恒成立．
∵g（x）=（1-a）x-

1

2

ax2+ln（x-1），
∴g′（x）=1-a-ax+

1

x-1

，
由1-a-ax+

1

x-1

≤0可得a≥

x

x2-1

，
令h（x）=

x

x2-1

，则h′（x）=

-x2-1

(x2-1)2

＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上为减函数，
∴h（x）＜h（2）=

2

3

，
∴a≥

2

3

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．