Question

已知

a

=（1，cosx），

b

=（sin2x，2cosx），且f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（2）证明：无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量数量积运算和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用导数的几何意义即可得出．

解答： （1）解：f（x）=

a

•

b

-1=sin2x+2cos²x-1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
又x∈[0，π]，∴x∈[0，

π

8

]，[

5π

8

，π]．
因此函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间是[0，

π

8

]，[

5π

8

，π]．
（2）证明：∵y′=2

2

cos(2x+

π

4

)≤2

2

，
∴函数y=f（x）的图象的切线的斜率最大值为2

2

，因此无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．

点评：本题考查了向量数量积运算和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、导数的几何意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．