Question

已知0＜α＜

π

2

，设函数f（x）=

2014x+1+2012

2014x+1

+sinx（x∈[-α，α]）的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=

 

．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：先研究函数的单调性，确定出最大值与最小值，再求它们的和，得到答案．

解答： 解：f（x）=

2014x+1+2012

2014x+1

+sinx=

2014(2014x+1)-2

2014x+1

+sinx=2014-

2

2014x+1

+sinx，
由于0＜α＜

π

2

，可得[-α，α]⊆[-

π

2

，

π

2

]，
可得f（x）在[-α，α]上是增函数，
∴P+Q=f（a）+f（-a）═2014×2-

2

2014a+1

-

2

2014-a+1

+sina+sin（-a）=4028-

2(2014a+1)

2014a+1

=4026，
故答案为：4026．

点评：本题考查指数复合函数的性质，判断单调性确定最值是解答本题的关键．