Question

函数y=

2- 1-x2

3-x

的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：令x=cosx，则

1-x2

=|sinx|，则y=

2- 1-x2

3-x

=

2-|sinx|

3-cosx

，函数y值表示动点（cosx，|sinx|）与定点P（3，2）连线的斜率k，然后数形结合求出y的最值，进而可得函数的值域．

解答： 解：令x=cosx，则

1-x2

=|sinx|，
则y=

2- 1-x2

3-x

=

2-|sinx|

3-cosx

，
函数y值表示动点（cosx，|sinx|）与定点P（3，2）连线的斜率k，
由下图可得：

当直线过A（1，0）时，k取最大值1，
当直线与半圆相切时，k取最小值，
此时

|2-3k|

k2+1

=1，
解得k=

3- 3

4

，或k=

3+ 3

4

（舍去），
故函数y=

2- 1-x2

3-x

的值域是[

3- 3

4

，1]，
故答案为：[

3- 3

4

，1]

点评：本题考查的知识点是函数的值域，其中根据已知分析出函数的值y表示动点（cosx，|sinx|）与定点P（3，2）连线的斜率k，是解答的关键．