Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1+1，则a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+a₃C

2 n

+…+a_n+1C

n n

的最简表达式为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：要求的式子即（1+1）C

0 n

+（3+1）C

1 n

+（3²+1）C

2 n

+…+（3ⁿ+1）C

n n

，即（C_n⁰+3C_n¹+3²C_n²+…+3ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ），逆用二项式定理求得结果．

解答： 解：a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+a₃C

2 n

+…+a_n+1C

n n

=（1+1）C

0 n

+（3+1）C

1 n

+（3²+1）C

2 n

+…+（3ⁿ+1）C

n n

=（C_n⁰+3C_n¹+3²C_n²+…+3ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（1+3）ⁿ+2ⁿ =4ⁿ+2ⁿ．
故答案为：4ⁿ+2ⁿ．

点评：本题为一道典型的逆向利用二项式定理来解答的题目，合理的拆项是解答本题的关键．解答本题时若不能合理拆项又或者想不到去拆项将会无从下手，所以对这种题型同学们要能做到举一反三，要具备解答这类题目的知识储备才行，属于中档题．