Question

【题目】已知函数f（x）＝2xlnx+1．

（1）求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；

（2）若关于x的不等式f（x）x2+ax在（，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 4x﹣y﹣2e+1＝0；(2) [﹣1，+∞）．

【解析】

（1）求导后，求出切线斜率，进而得到切线方程；

（2）原问题转化为在上恒成立，令，求其最大值即可．

（1）依题意，f′（x）＝2lnx+2，故f′（e）＝4，而f（e）＝2elne+1＝2e+1，

∴所求切线方程为4x﹣y﹣2e+1＝0；

（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

∴g（x）max＝g（1）＝﹣1，故a≥﹣1．

故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．