Question

【题目】如图，直三棱柱中，点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先连接，交于点，再由线面平行的判定定理，即可证明平面；

（Ⅱ）先由题意得，，两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系

设 ，求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出，进而可得出结果.

解：（Ⅰ）证明：连接，交于点，则为中点，

连接，又是棱的中点，

平面，平面，

平面.

（Ⅱ）解：由已知，，则，，两两垂直

以为原点，如图建立空间直角坐标系

则，

设

则，，

设平面的法向量为 ，

则

∴取平面的一个法向量.

设平面的法向量为 ，

则

∴取平面的一个法向量 .

∴，得或

∵，∴

∴存在点，此时，使二面角的大小为45°.