Question

【题目】如果函数在上存在满足，，则称函数是在上的“双中值函数”，已知函数是上的“双中值函数”，则函数的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】.

【解析】

分析：根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==t2﹣t，即方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个解，利用二次函数的性质可知实数t的取值范围．

详解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+t，f′（x）=3x2﹣2x

在区间[0，t]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜t），

满足f′（x1）=f′（x2）==t2﹣t，

∵f（x）=x3﹣x2+t，

∴f′（x）=3x2﹣2x，

∴方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个不相等的解．

令g（x）=3x2﹣2x﹣t2+t，（0＜x＜t）

则，

解得＜t＜1．

∴实数t的取值范围是（，1）.

故答案为：（，1）．