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椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若△OAB为直角三角形,求m的值.
(Ⅰ)由已知
c
a
=
3
2
4
a2
=1

所以a=2,c=
3

又a2=b2+c2,所以b=1,
所以椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1
;.
(Ⅱ)联立
x2
4
+y2=1
y=x+m

消去y得5x2+8mx+4m2-4=0,△=64m2-80(m2-1)=-16m2+80,
令△>0,即-16m2+80>0,解得-
5
<m<
5

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
(ⅰ)当∠AOB为直角时,
x1+x2=-
8
5
m,x1x2=
4m2-4
5

因为∠AOB为直角,所以
OA
OB
=0
,即x1x2+y1y2=0,
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
所以
8m2-8
5
-
8
5
m2+m2=0
,解得m=±
2
5
10

(ⅱ)当∠OAB或∠OBA为直角时,不妨设∠OAB为直角,
由直线l的斜率为1,可得直线OA的斜率为-1,
所以
y1
x1
=-1
,即y1=-x1
x21
4
+
y21
=1
;,
所以
5
4
x21
=1
;,x1
2
5
5
m=y1-x1=-2x1
4
5
5

经检验,所求m值均符合题意,综上,m的值为±
2
5
10
±
4
5
5
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分13分)
如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,(为坐标原点).

(1)求双曲线的方程;
(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点上移动时,恒为定值,并求此定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,-b),则椭圆的离心率的取值范围为(  )
A.(0,
6
3
]
B.[
6
3
,1)
C.(0,
2
2
]
D.[
2
2
,1)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

“m=3”是“椭圆
x2
4
+
y2
m
=1
焦距为2”的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为e=
2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P的坐标为(2,
3
),且F2在线段PF1的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如果圆E:(x-
1
2
2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设P为椭圆
x2
16
+
y2
9
=1上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为(  )
A.1B.2C.
2
2
D.
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与圆相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为(      )
A.8B.2C.3D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,点P为双曲线右支上的一点,满足(O为坐标原点),且,则该双曲线离心率为             

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为________.

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