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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,-b),则椭圆的离心率的取值范围为(  )
A.(0,
6
3
]
B.[
6
3
,1)
C.(0,
2
2
]
D.[
2
2
,1)
设点P(x,y)是椭圆上的任意一点,
x2
a2
+
y2
b2
=1
,化为x2=a2(1-
y2
b2
)

∴|PA|2=x2+(y-b)2=a2(1-
y2
b2
)+(y-b)2
=-
c2
b2
(y-
-b3
c2
)2+
a4
c2
=f(y),
∵椭圆上的点P到点A(0,b)距离最远的点是B(0,-b),
由二次函数的单调性可知:f(y)在(-b,b)单调递减,
-b3
c2
≤-b

化为c2≤b2=a2-c2,即2c2≤a2
e≤
2
2

又e>0.
∴离心率的取值范围是(0,
2
2
]

故选:C.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设P为椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
上的一点,F1、F2是椭圆的焦点,若|PF1|:|PF2|=3:1,则∠F1PF2的大小为(  )
A.30°B.60°C.90°D.120°

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且
AC
BC
=0,|
OC
-
OB
|
=2|
BC
-
BA
|
,则其焦距为(  )
A.
2
6
3
B.
4
3
3
C.
4
6
3
D.
2
3
3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率是
1
2
,则
b2+1
3a
的最小值为(  )
A.
3
3
B.1C.
2
3
3
D.2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点是F1和F2,长轴是A1A2,P是椭圆上异于A1、A2的点,考虑如下四个命题:
①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|;
②a-c<|PF1|<a+c;
③若b越接近于a,则离心率越接近于1;
④直线PA1与PA2的斜率之积等于-
b2
a2

其中正确的命题是(  )
A.①②④B.①②③C.②③④D.①④

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆的长轴为A1A2,B为短轴一端点,若∠A1BA2=120°,则椭圆的离心率为(  )
A.
6
3
B.
3
3
C.
3
2
D.
1
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆
x2
2
+
y2
3
=1
,F1、F2是它的焦点,AB是过F1的弦,则△ABF2的周长为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右两个焦点分别为F1,F2,短轴的上端点为B,短轴上的两个三等分点为P,Q,且F1PF2Q为正方形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为-
3
2
4
,求此椭圆方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若△OAB为直角三角形,求m的值.

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