Question

已知a＞0，函数f（x）=

|x-a|

x+2a

在区间[0，4]上的最大值为

7

10

，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得函数f（x）=

|x-a|

x+2a

在区间[0，4]上的最大值，利用条件，即可求出a的值．

解答： 解：记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），
当0≤x≤a时，f（x）=

a-x

x+2a

；当x＞a时，f（x）=

x-a

x+2a

∴当0≤x≤a时，f′（x）=

-3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，f′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=

1

2

，不符合；
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=

a-1

2+a

∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=

4-a

4+2a

；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=

1

2

，
∴

4-a

4+2a

=

7

10

，∴a=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．