Question

6．已知三棱锥S-ABC各顶点都在球O的球面上，若SA=SB=SC=1，且SA、SB、SC两两垂直，则球O的表面积为3π．

Answer 1

分析 由题意一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，可知，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

解答 解：三棱锥S-ABC中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，
三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，
三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，
所以球的直径为：$\sqrt{3}$，半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
外接球的表面积为：4π×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=3π．
故答案为：3π．

点评 本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积，本题的突破口在三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体与三棱锥有相同的外接球．