Question

（本题满分15分）已知椭圆经过点，其离心率为，经过点，斜率为的直线与椭圆相交于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别相交于两点，则是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）没有符合题意的常数．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率为可得，，即椭圆的方程为；

又因为其图像过点，将其坐标直接代入即可计算出参数，即可写出椭圆的方程；（Ⅱ）首先写

出直线的方程，然后联立直线和椭圆方程并将直线的方程代入椭圆方程整理得

，由题意知，，即可解出的取值范围；（Ⅲ）假设

存在常数，使得向量与共线，则设，则，

由（Ⅱ）知， 可用含的式子表示出来，然后根据假设可得等式关系，

即可解出的值，最后验证的值是否满足（Ⅱ）中解出的的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率，

，将点代入，得，

所求椭圆方程为．

（Ⅱ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．

整理得 ①

直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

解得或．即的取值范围为.

（Ⅲ）设，则，

由方程①， ②

又 ③

而，．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得．

由（1）知或，故没有符合题意的常数．

考点：椭圆的综合应用；向量的共线.