Question

已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，且g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求函数g（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）把h（x）对应的曲线C₁向上平移6个单位后得到曲线C₂，求C₂与g（x）对应曲线C₃的交点个数，并说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

Answer 1

解：（I）g（x）=x²-af（x）=x²-alnx，，g'（1）=2-a=0
∴a=2经检验a=2成立
又g（2）=4-2ln2，g'（2）=3，∴y-4+2ln2=3（x-2）
即函数g（x）在x=2处的切线方程：3x-y-2-2ln2=0
（II），定义域[0，+∞），
令，得x＞1；令得0＜x＜1，
∴函数h（x）单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（III）由（1）知g（x）=x²-2lnx，，定义域[0，+∞）
∴C₂对应的表达式为，问题转化为求函数g（x）=x²-2lnx与图象交点个数问题，故只需求方程，即根的个数
设，h₃（x）=-x²+x+6，，
当x∈（0，4），h₂^′（x）＜0，h₂（x）为减函数；当x∈（4，+∞），h₂^′（x）＞0，h₂（x）为增函数，而，图象是开口向下的抛物线，作出函数h₂（x）与h₃（x）的图象，，而可知交点个数为2个，即曲线C₂与C₃的交点个数为2个．
分析：（I）表示出函数g（x）后对其进行求导，将x=1代入导数g'（x）即可得到答案．欲求在点x=2处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（III）表示出C₂的解析式，h₁（x），转化为求h₁（x）与g（x）的交点个数即可．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减区间的问题．这里要熟记各种函数的求导法则，用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．