Question

【题目】定义“正对数”： ，现有四个命题：

①若，则

②若，则

③若，则

④若，则

其中的真命题有：____________ （写出所有真命题的编号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】试题分析：

因为定义的“正对数”： 是一个分段函数 ，所以对命题的判断必须分情况讨论：

对于命题①（1）当， 时，有，从而， ，所以；（2）当， 时，有，从而， ，所以；这样若，则，即命题①正确.

对于命题②举反例：当时， ，

所以，即命题②不正确.

对于命题③，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质： ，且，（1）当， 时， ，而，所以；（2）当， 时，有， ，而，因为，所以；（3）当， 时，有， ，而，所以；（4）当， 时， ，而，所以，综上即命题③正确.

对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，（1）当， 时，有，从而， ，所以；（2）当， 时，有，从而， ，所以；（3）当， 时，与（2）同理，所以；（4）当， 时， ， ，因为，所以，从而，综上即命题④正确.

通过以上分析可知：真命题有①③④.