Question

已知函数f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上没有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：压轴题

分析：（Ⅰ）利用极值点的导函数为零，求出参数的值，再通过单调性验证参数适合题意；
（Ⅱ）利用导函数值的正负求出函数的单调区间；
（Ⅲ）利用导函数值研究函数的单调性和极值，必须讨论极值点与区间的位置关系．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．
f ′(x)=2x-

2a2

x

=

2x2-2a2

x

=

2(x+a)(x-a)

x

，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
当a=1时，x∈（0，1），f′（x）＜0；
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以a的值为1．
（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
当x在（0，+∞）内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（Ⅲ）要使f（x）在[1，e]上没有零点，只需在[1，e]上f（x）_min＞0或f（x）_max＜0，
又f（1）=1＞0，只须在区间[1，e]上f（x）_min＞0．
（1）当a≥e时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，f(x)min=f(e)=e2-2a2＞0，
解得 0＜a＜

2 e

2

与a≥e矛盾．
（2）当1＜a＜e时，f（x）在区间[1，a）上单调递减，在区间（a，e]上单调递增，
f(x)min=f(a)=a2(1-2lna)＞0，解得0＜a＜

e

，
所以1＜a＜

e

．
（3）当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）＞0，满足题意．
综上，a的取值范围为：0＜a＜

e

．

点评：本题考查的是导函数知识，包括导函数与单调性、导函数与极值，并利用极值研究方程的根，本题还考查了分类讨论的数学思想，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题．